BIOGRAFI
David Hilbert lahir pada 23 Januari 1862 di Konigsberg, Prusia, sekarang Kaliningrad, Rusia. Ayahnya, Otto Hilbert, adalah seorang hakim kota, posisi yang sangat terhormat di sebuah kota kecil. Constance Hilbert Reid menunjukkan bahwa pengaruh terbesar datang dari ibunya Maria, "seorang wanita biasa ... tertarik pada filsafat dan astronomi dan terpesona dengan bilangan prima." Sebagai seorang anak muda, Hilbert dengan cepat menemukan bahwa matematika sangat mudah datang kepadanya. Sejak ia menuntut ilmu di gymnasium daerah di tempat asalnya yang menekankan pada bahasa, terutama bahasa Latin, atas matematika dan ilmu pengetahuan, waktu itu ia mengesampingkan cintanya kepada matematika sementara dan memusatkan perhatian pada mata pelajaran yang lebih lemah, kemudian ia sadar dan bersumpah untuk kembali ke matematika secepat mungkin.
ia belajar di universitas di Konigsberg, belajar di bawah Heinrich Weber, satu-satunya profesor matematika di Konigsberg. Dia pernah mengunjungi universitas di Heidelberg selama satu semester untuk mendengar ceramah tentang persamaan diferensial oleh Leonard Fuchs. Pada tahun 1882, Hermann Minkowski, seorang rekan mahasiswa di Konigsberg, memenangkan Grand Prix bergengsi des Sciences Mathmatiques dari Akademi Paris pada usia 17. Mendengar prestasi ini belum pernah terjadi sebelumnya, Hilbert menjadi malu dengan temanya Minkowski. Pada tahun 1884, Adolf Hurwitz menjadi Extraordinarius, atau asisten profesor, di Konigsberg. Mereka mengembangkan kebiasaan mengambil jalan-jalan harian "ke pohon apel ... tepatnya pukul lima" untuk membahas filsafat, sastra, perempuan, dan, di atas segalanya, matematika.
Ketiga orang ini telah membentuk sebuah persahabatan yang akan berlangsung sampai akhir khayat mereka. Persahabatan ini adalah factor paling penting bagi perkembangan matematika Hilbert. Tahun berikutnya, 1886 hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, dan diangkat menjadi asisten professor sebelum menjadi professor penuh pada tahun 1893. Pimpinan Konisberg pada saat itu adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya definisi-definisi abstrak untuk himpunan pada bidang pada periode 1880-1890, juga yang mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert juga sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri kongres matematikawan yang menjadi ciri khas pada abad itu.
FILSAFAT HILBERT
Sumber eksistensi murni teorema adalah c-aksioma logis, yang pada gilirannya pada pembangunan semua proposisi yang ideal tergantung. Dan sejauh mana memiliki permainan rumus dimungkinkan dengan demikian telah berhasil? Permainan rumus ini memungkinkan kita untuk mengungkapkan seluruh isi pikiran-ilmu matematika dalam cara yang seragam dan mengembangkannya sedemikian rupa sehingga, pada saat yang sama, saling keterkaitan antara individu proposisi dan fakta menjadi jelas. Untuk membuat persyaratan yang universal rumus masing-masing individu kemudian dapat ditafsirkan dengan sendirinya sama sekali tidak masuk akal, sebaliknya, sebuah teori pada dasarnya adalah sedemikian rupa sehingga kita tidak perlu untuk mundur pada intuisi atau arti di tengah-tengah beberapa argumen. Apa tuntutan ahli fisika teori tepat adalah bahwa proposisi tertentu diturunkan dari hukum-hukum alam atau hipotesis semata-mata oleh kesimpulan, maka berdasarkan formula murni permainan, tanpa pertimbangan yang dikemukakan asing. Hanya kombinasi tertentu dan konsekuensi dari hukum-hukum fisika dapat diperiksa dengan eksperimen-seperti dalam teori bukti Hilbert hanya proposisi nyata secara langsung mampu verifikasi. Nilai keberadaan murni bukti terdiri tepatnya di bahwa individu Konstruksi dihilangkan oleh mereka dan bahwa berbagai macam konstruksi yang dimasukkan di bawah satu ide dasar, sehingga hanya apa yang penting untuk bukti menonjol jelas; singkatnya dan pemikiran ekonomi adalah raison d'etre keberadaan bukti-bukti. Pada kenyataannya, teorema eksistensi murni telah menjadi landmark yang paling penting dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan kita. Tapi pertimbangan tersebut tidak masalah intuisionis yang saleh.
Rumus permainan yang Brouwer telah begitu deprecates, selain dengan nilai matematika, yang penting makna filosofis umum. Untuk permainan formula ini dilakukan sesuai dengan aturan yang pasti tertentu, di mana teknik pemikiran kita dinyatakan. Aturan-aturan ini membentuk sebuah sistem tertutup yang dapat ditemukan dan dinyatakan secara definitif. Ide dasar teori bukti Hilbert tidak lain adalah untuk menggambarkan kegiatan pemahaman kita, untuk membuat sebuah protokol atas sesuai dengan aturan yang benar-benar hasil pemikiran kita. Berpikir, begitu terjadi, sejajar berbicara dan menulis: kita membentuk pernyataan dan menempatkan mereka di belakang lain. Jika ada totalitas fenomena pengamatan dan layak untuk dijadikan objek yang serius dan penyelidikan menyeluruh, inilah satu-karena, setelah semua, adalah bagian dari tugas ilmu pengetahuan untuk membebaskan kita dari kesewenang-wenangan, sentimen, dan kebiasaan dan untuk melindungi kita dari subjektivisme yang sudah dibuat sendiri merasa di Kronecker pandangan dan, menurut Hilbert, menemukan titik puncaknya di intuisionisme.
Intuisionisme yang paling tajam dan paling bergairah adalah salah satu tantangan itu di validitas prinsip yang dikecualikan, misalnya, dalam kasus yang paling sederhana, di validitas kesimpulan menurut cara, yang, untuk setiap pernyataan yang berisi nomor-teori variabel, baik pernyataan benar untuk semua nilai dari variabel atau terdapat nomor telepon yang salah. Prinsip yang dikecualikan tengah merupakan konsekuensi logis dari c-aksioma dan tidak pernah belum menyebabkan kesalahan sedikit pun. Hal ini, selain itu, begitu jelas dan dipahami bahwa penyalahgunaan yang menghalangi. Secara khusus, prinsip yang dikecualikan tengah tidak boleh disalahkan dalam setidaknya untuk terjadinya terkenal paradoks teori himpunan, melainkan disebabkan paradoks ini hanya untuk pengenalan gagasan dapat diterima dan tak berarti, yang secara otomatis dikeluarkan dari bukti Hilbert teori. Keberadaan bukti dilakukan dengan bantuan prinsip yang dikecualikan biasanya menengah terutama menarik karena singkatnya mengejutkan mereka dan keanggunan. Mengambil prinsip yang dikecualikan dari matematikawan tengah akan sama, melarang teleskop ke astronom atau ke petinju penggunaan tinjunya. Melarang keberadaan pernyataan dan prinsip yang dikecualikan tengah adalah sama saja dengan melepaskan ilmu matematika sama sekali. Sebab, dibandingkan dengan hamparan luas matematika modern, apa yang akan sisa-sisa malang Maksudku, hasil terisolasi, tidak lengkap dan tidak berhubungan, bahwa naif intuitionists diperoleh tanpa penggunaan e-aksioma logis? Teorema teori fungsi, seperti teori-conformal pemetaan dan teorema fundamental dalam teori persamaan diferensial parsial atau deret Fourier - untuk satu keluar hanya beberapa contoh dari ilmu pengetahuan kita, hanyalah proposisi yang ideal dalam arti dan membutuhkan e-aksioma logis bagi perkembangan mereka.
Dalam keadaan seperti ini aku merasa heran bahwa seorang matematikawan harus diragukan lagi bahwa prinsip yang dikecualikan tengah benar-benar berlaku sebagai cara inferensi. Aku bahkan lebih terkejut bahwa, seperti tampaknya, seluruh komunitas matematikawan yang melakukan hal yang sama kini telah dilantik sendiri. Hilbert sangat terkejut oleh kenyataan bahwa bahkan di kalangan matematis kekuatan sugesti dari satu orang, namun penuh temperamen dan penemuan, mampu memiliki paling mustahil dan efek eksentrik.
Bahkan sketsa Hilbert bukti hipotesis kontinum Cantor tetap uncriticised. Oleh karena itu Hilbert ingin membuat beberapa komentar bukti ini.Dari presentasi Hilbert maka kamu akan mengerti bahwa itu adalah bukti konsistensi yang menentukan cakupan efektif bukti Hilbert teori dan pada umumnya merupakan intinya. Metode W. Ackermann memungkinkan perluasan masih. Untuk dasar-dasar analisis biasa pendekatannya telah dikembangkan sejauh bahwa hanya tugas melaksanakan sebuah bukti matematis murni keterbatasan tetap. Sudah saat ini Hilbert ingin menegaskan apa hasil akhir akan menjadi: presuppositionless matematika adalah ilmu. Untuk menemukan itu Hilbert tidak membutuhkan Allah, seperti halnya Kronecker, atau asumsi fakultas khusus pemahaman kita selaras dengan prinsip induksi matematika, seperti halnya Poincaré, atau intuisi primal Brouwer, atau, akhirnya, seperti Russell dan Whitehead, aksioma yang tak terhingga, reducibility, atau kelengkapan, yang sebenarnya adalah aktual, contentual asumsi-asumsi yang tidak dapat dikompensasi oleh bukti-bukti konsistensi.
Hilbert ingin diperhatikan lebih lanjut bahwa P. Bernays telah kembali menjadi kolaborator setia. Dia tidak hanya terus-menerus dibantu Hilbert dengan memberikan nasihat, tetapi juga menyumbangkan ide-ide sendiri dan sudut pandang baru, sehingga Hilbert ingin menyebut karya kita bersama. Kami bermaksud untuk menerbitkan sebuah presentasi rinci dari teori segera.
SUKSESI
Tahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass, dan Klein pun memberi penawaran kepada Hubert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu. Klein gagal membujuk Hubert dari posisi itu dan kemudian diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa (phi) adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar tesis Hilbert tentang teori invarian terus dipelajari.
Pada 12 Oktober, Hilbert menikah dengan sepupu kedua, Kthe Jerosch. 11 Agustus 1893, Franz putra mereka lahir. Beberapa minggu kemudian, Hilbert dan Minkowski yang ditugaskan oleh Jerman Mathematical Society untuk menulis sebuah survei komprehensif dari teori bilangan. Kehormatan ini mungkin diberikan pada Hilbert karena baru-baru ini, lebih banyak bukti-bukti langsung dari transendensi e (pertama dibuktikan oleh Charles Hermite pada tahun 1873) dan (pertama dibuktikan oleh Ferdinand Lindemann pada tahun 1882). Diputuskan bahwa Hilbert akan menangani teori bilangan aljabar sementara Minkowski akan bekerja pada aspek geometris dari teori bilangan. Walaupun Minkowski pernah menyelesaikan bagian dari survei, Hilbert buku, Zahlbericht, adalah, menurut salah satu resensi, " literatur utama matematika." Sebelum diterbitkan Zahlbericht Namun, David Hilbert menerima telegram penting dari Felix Klein. Hilbert dipromosikan menjadi profesor penuh di Gottingen, universitas yang telah membentuk teori bilangan besar Carl Friedrich Gauss. Moto di Rathaus, atau balai kota, Gottingen menyatakan: "Jauh dari Gottingen tidak ada kehidupan." Bagi seorang matematikawan di awal abad kedua puluh, ini tidak jauh dari kebenaran. Pikiran matematika terbesar dari waktu, baik staf pengajar dan mahasiswa, telah berkumpul di Gottingen dan Klein tahu bahwa Hilbert akan menjadi tambahan yang indah.
David Hilbert dan istrinya Kthe akan menghabiskan sisa hidup mereka di Gottingen. Pada Gottingen, Hilbert menemukan ketenangan serta rangsangan ilmiah yang ia butuhkan untuk menjadi seorang matematikawan yang produktif. Sebuah bukti kegeniusan dan fleksibilitas, Hilbert memiliki efek luas pada banyak beragam cabang matematika. Hermann Weyl, seorang rekan Hilbert di Gottingen, telah diklasifikasikan Hilbert pekerjaan menjadi lima bidang utama: invarian teori, teori medan nomor aljabar, dasar-dasar geometri dan matematika, persamaan integral, dan fisika.
Seperti disebutkan sebelumnya, Hilbert tesis ini pada teori invariants. Kedua bukti Gordan's Problem didirikan sebagai seorang matematikawan kelas satu. Bukti-bukti tersebut membawanya ke "salah satu yang paling mendasar teorema aljabar," yaitu bahwa setiap bagian dari sebuah polinomial cincin variabel independen memiliki dasar yang ideal terbatas. Weyl mengklaim bahwa teorema ini adalah "batu fondasi dari teori umum manifold aljabar." Teorema terkenal lainnya oleh Hilbert, yang Nullstellensatz, menyatakan bahwa untuk setiap polinomial g "hilang" pada ideal itu "set titik hilang," beberapa kekuatan g terdapat dalam ideal. Weyl mengklaim bahwa Nullstellensatz adalah "jelas" di jantung teori aljabar manifold. David Hilbert membuat kontribusi lain aljabar modern, termasuk teorema di mana seseorang dapat menggantikan variabel dalam sebuah polinom dapat diminimalkan untuk mendapatkan direduksikan lain polinomial dan larutan kesembilan persamaan derajat. Weyl menekankan pentingnya penemuan Hilbert: "Setelah penyelidikan resmi dari Cayley dan Sylvester untuk Gordan, Hilbert memulai sebuah era baru dalam teori invariants." Anehnya, Weyl Hilbert hanya mengutip kata-kata sendiri. Karakteristik Hilbert berlanjut, meskipun dibenarkan, egoisme, salah satu Hilbert kertas di invariants bernama Silvester dan Cayley "wakil dari periode naif" dan dirinya sebagai juara "periode kritis" dari teori invarian. Pada 1892, ia menulis kepada Minkowski bahwa "Aku akan benar-benar berhenti untuk mempelajari bidang invariants."
KARYA HILBERT
Dengan perpindahan dari Konigsberg ke Gottingen, minat Hilbert berubah dari invariants ke bilangan aljabar bidang. The Zahlbericht adalah suatu lompatan besar ke depan dalam teori bilangan aljabar. Hilbert sangat senang penugasannya dari Jerman Mathematical Society. Hilbert menyatakan bahwa "teori bilangan bidang adalah bangunan langka keindahan dan harmoni." Salah satu kontribusi penting dari laporan ini adalah Satz 90, yang merupakan siklus relatif teorema di bidang. Hilbert juga mengembangkan bentuk simbol Legendre dan ide dari ADIC p-norma.
Karya pelting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dininat pada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sinI, Hilbert mendefinisikan bentuk aijabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam pengubah-pengubah tertentu di mana koefIsien-koefisien adalah bilangan-bIlangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain of rationality). Teorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak terhingga S = F1,F2, F3,… dari bentuk pengubah n, x1, x2, x3, …xn terdapat bilangan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai
F = A1F1 + A2F2 + … + AmFm
Di mana A1 adalah bentuk-bentuk yang sama dengan pengubah-pengubáh n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentukbentuk arbitrari banyak pengubah. Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Euclid sendiri. Dan pembelajaran secara sistematik dari geometni Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, di mana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma formal. Buku ini terus diperbarui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalaam matematika yhang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abadf ke-20.
Hilbert sangat terkenal dengan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewaty pidatonya pada kongres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khazanah matematika. karena, sebagai contoh, meninggalkan TTF (Teorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dan Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aijabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor yang akan mendasani teoni bilangan modern dan akhirnya teori fungsi.
RUANG HILBERT
Karya Hubert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909 merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika di mana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya mi juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional talc terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematika dan mekanika kuantum. Dalam penggunaan persamaan-persamaan integral Hilbert mampu memberikan sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah tentang teori gas kinetic dan teori radiasi.
Ada beberapa orang yang menyebutkan bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan persamaan bidang.
Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan “Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun 1894, dia mengajar geometri non-Euclidian dan pada periode 1898-1899, ia mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri” (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar, karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad ke-20.
Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan “karakter” aijabar dan analisis ke dalam geometri. Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 objek: titik, garis, dan bidang dan enam kernungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hubert mengukuhkan din sebagai penggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan Imanuel Kant: “Semua pengetahuan manusia diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep—konsep, dan diakhiri dengan id-ide. “ Kutipan ini digunakan untuk menunjukan bahwa dirinya anti—Kant. Menurutnya, tidak ada peran intuisi dalam mempelajari geometri, di mana titik, garis, dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpunan tertentu. Teori himpunan yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisi dipakai dalam geometri.
Selama waktunya di Gottingen, Hilbert adalah seorang rekan untuk beberapa pikiran matematika terbesar dalam sejarah. Administrator yang mengawasi pekerjaan Hilbert untuk sebagian besar hidupnya adalah aljabar besar, Felix Klein. Setelah kematian Klein, Richard Courant mengambil alih sebagai administrator. Courant kemudian membuat kontribusi yang signifikan terhadap analisis dan menemukan Courant Institute di New York. Hilbert bekerja dengan Carl Runge, seorang tokoh terkemuka dalam pendekatan teori. Banyaknya teori, Edmund Landau, juga mengajar di Gottingen. Hilbert mengembangkan teori tentang dasar-dasar matematika dengan Ernst Zermelo, ahli logika yang terkenal. Untuk pertanyaan dalam fisika, Hilbert dapat selalu berpaling kepada fisikawan besar Max Born, James Franck, Arnold Sommerfeld, atau Niels Bohr. Dia terus terus-menerus korespondensi dengan Minkowski dan Hurwitz. Ketika Hilbert menerima tawaran menjadi departemen kursi di Berlin pada 1902, ia menggunakan tawaran ini sebagai daya tawar untuk membawa temannya Hermann Minkowski ke Gottingen. Setelah didirikan di sana, Hilbert melanjutkan kebiasaan sehari-hari panjang jalan-jalan dengan temannya.
Hilbert akan memiliki pengaruh besar pada generasi matematikawan dengan menjadi seorang mentor. Hilbert dikenal karena sederhana dan jelas kuliah. Dia umumnya tidak siap untuk kuliah dan bersepeda atau, selama musim dingin, main ski ke ruang kuliah. Dia akan sering mendapatkan sebuah teorema atau bukti di kelas, sehingga banyak siswa yang terkejut melihat karya jenius berlangsung. Dia mengajarkan kalkulus kepada pemenang Hadiah Nobel Max von Laue. Hilbert's Zahlbericht terinspirasi Tejii Takagi untuk meninggalkan Jepang, datang ke Gottingen, dan membuat kontribusi besar untuk teori bilangan aljabar. Seorang pemimpin dalam fisika matematika, Hermann Weyl datang ke Gottingen untuk belajar di bawah David Hilbert. Paul Bernays, besar ahli logika, adalah asisten David Hilbert. Dalam waktu ketika matematikawan perempuan itu hampir tidak ada, Hilbert Emmy Noether berjuang untuk diterima ke dalam program doktor dan kemudian haknya untuk menjadi Privatdozent di Gottingen. Emmy Noether kemudian beremigrasi ke Amerika dan membuat prestasi mengesankan dalam grup dan teori cincin.
Ketika Hilbert mencapai usia 68 pada tahun 1930, ia dipaksa untuk pensiun dari mengajar. Pada tahun 1932, Adolf Hitler menjadi kanselir Jerman dan undang-undang itu disahkan yang melarang orang Yahudi berdarah penuh dari posisi mengajar. Larangan ini diterapkan untuk Courant, Noether, Landau, Bernays, Lahir, dan Franck. Pada jamuan makan, menteri pendidikan bertanya Hilbert, "Dan bagaimana matematika di Gottingen sekarang telah terbebas dari pengaruh Yahudi?" Hilbert menjawab, "Matematika di Gottingen? Tidak benar-benar tidak ada lagi." Rezim Nazi berakhir Gottingen posisi sebagai pusat dunia matematika. David Hilbert meninggal dari pada 14 Februari 1943 di sebuah Gottingen terkoyak oleh Perang Dunia II. Pada tahun 1962, Richard Courant memberikan alamat pada pentingnya kerja Hilbert. Courant tidak dapat memutuskan di mana matematika Hilbert daerah telah memberikan kontribusi. Courant yakin bahwa keyakinan Hilbert dalam solvabilitas dari setiap masalah adalah kekuatan terbesar. "Oleh karena itu saya yakin," Courant menyatakan, "bahwa optimisme menular Hilbert bahkan hari ini mempertahankan vitalitas untuk matematika, yang akan berhasil hanya melalui semangat David Hilbert."
Ref: Fathoni, Abdul Halim. Ensiklopedia Matematika. AR-Ruzz MEdia. Yogyakarta. 2008
